Πανελλήνιες 2011 Μαθηματικά Κατεύθυνσης: Θέματα-Απαντήσεις

Στα Μαθηματικά Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης διαγωνίστηκαν οι υποψήφιοι στις Πανελλαδικές 2011. Διαβάστε θέματα και απαντήσεις-λύσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης στις Πανελλήνιες 2011.

“Πολύ δύσκολα” χαρακτήρισαν οι μαθητές τα θέματα στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης στις Πανελλήνιες 2011. Σύμφωνα με τις πρώτες εκτιμήσεις εκπαιδευτικών, τα θέματα είναι “πολύ προσεγμένα” και για πολύ καλούς μαθητές. Ιδιαίτερης δυσκολίας είναι το τέταρτο θέμα. Καλή επιτυχία στους υποψηφίους.

Οι Πανελλαδικές 2011 συνεχίστηκαν με τους υποψήφιους να εξετάζονται σε μαθήματα Κατεύθυνσης:

Νεοελληνικής Λογοτεχνίας Θεωρητικής Κατεύθυνσης
Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης

Διαβάστε τα θέματα Μαθηματικών Κατεύθυνσης στις Πανελλήνιες 2011:

Μαθηματικά Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης – Πανελλήνιες 2011

ΘΕΜΑ Α
A1. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x0 και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να αποδείξετε ότι: f′(x0) = 0
Μονάδες 10

A2. Δίνεται συνάρτηση f ορισμένη στο . Πότε η ευθεία y=λx+β λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο ∞+;
Μονάδες 5

A3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη.
α) Για κάθε μιγαδικό αριθμό z ≠ 0 ορίζουμε z0=1
β) Μια συνάρτηση f:A→ λέγεται συνάρτηση 1-1, όταν για οποιαδήποτε Ax,x∈21 ισχύει η συνεπαγωγή: αν x1≠x2, τότε f(x1) ≠ f(x2)
γ) Για κάθε x∈1=–{x|συνx=0} ισχύει: x1)x(2συνεφ −=′
δ) Ισχύει ότι: 1x xlim x=ημ∞+→
ε) Οι γραφικές παραστάσεις C και C΄ των συναρτήσεων f και f–1 είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y=x που διχοτομεί τις γωνίες xOy και x΄Oy΄.
Μονάδες 10

ΘΕΜΑ Β
Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί z και w με iz3≠, οι οποίοι ικανοποιούν τις σχέσεις:
B1. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z
Μονάδες 7

B2. Να αποδείξετε ότι
Μονάδες 4

B3. Να αποδείξετε ότι ο w είναι πραγματικός αριθμός και ότι 22≤≤−w
Μονάδες 8

B4. Να αποδείξετε ότι: zwz=−
Μονάδες 6

Αλλάξτε πάροχο ηλεκτρικού ρεύματος και εξοικονομήστε ως 50%. Κάντε αναζήτηση και συμπληρώστε τη φόρμα δωρεάν!

ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται η συνάρτηση f : →, δύο φορές παραγωγίσιμη στο , με ()0)0(f0f==′, η οποία ικανοποιεί τη σχέση:
())x(fx)x(f1)x(f)x(fex′′+′=−′′+′
για κάθε x∈.

Γ1. Να αποδείξετε ότι: f x∈
Μονάδες 8

Γ2. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
Μονάδες 3

Γ3. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει ακριβώς δύο σημεία καμπής.
Μονάδες 7

Γ4. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση = συνx έχει ακριβώς μία λύση στο διάστημα
Μονάδες 7

ΘΕΜΑ Δ
Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις f, g : →, οι οποίες για κάθε x∈ ικανοποιούν τις σχέσεις:
i) f(x)>0 και g(x)>0
ii) ∫−+=−x0t2x2dt)tx(gee)x(f1
iii) ∫−+=−xtxdt)tx(fee)x(g0221

Δ1. Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιμες στο και ότι f(x) = g(x) για κάθε x∈.
Μονάδες 9

Δ2. Να αποδείξετε ότι:
f(x) = ex, x∈
Μονάδες 4

Δ3. Να υπολογίσετε το όριο:
Μονάδες 5

Δ4. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης
∫=xdt)t(f)x(F12
τους άξονες x΄x και y΄y και την ευθεία με εξίσωση x=1.
Μονάδες 7

Δείτε αναλυτικά τα θέματα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης στις Πανελλήνιες 2011 κάνοντας κλικ εδώ.

Δείτε τις απαντήσεις-λύσεις Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης στις Πανελλήνιες 2011 κάνοντας κλικ εδώ (Φροντιστήριο Νέον), εδώ (Μεθοδικό) και εδώ (Όριον)

Εν τω μεταξύ, για καλά διαβασμένους ήταν τα θέματα της Νεοελληνικής Γλώσσας στις Πανελλήνιες 2011, όπως φαίνεται από το πρώτο κύμα βαθμολόγησης των γραπτών.

Οι πανελλαδικές εξετάσεις θα συνεχιστούν την Τετάρτη, οπότε οι υποψήφιοι για μία θέση στα ΑΕΙ και ΤΕΙ θα εξεταστούν σε μαθήματα Κατεύθυνσης, Ιστορία, Βιολογία, Χημεία-Βιοχημεία και Αρχές Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων.

Διαβάστε θέματα-λύσεις των Πανελληνίων 2011 σε όλα τα μαθήματα και εκτιμήσεις για Βάσεις 2011.

• Πανελλήνιες 2024 πρόγραμμα: Πότε ξεκινούν, αναλυτικά το πρόγραμμα ΓΕΛ και ΕΠΑΛ

• Πανελλήνιες 2023, smsresults.minedu.gov.gr: Αποτελέσματα Πανελλαδικών εξετάσεων εδώ

• Πανελλήνιες 2023 Νεοελληνική Γλώσσα: Θέματα, Απαντήσεις, Πρόγραμμα